Algebraische Flächen als Kunst

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  • MK00328
  • ab 14 Jahre
  • Dibond
  • ein Bild, Dibond, matt, 30 x 30 cm
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Produktinformationen "Algebraische Flächen als Kunst"

Dass die Mathematik nicht nur eine kognitive, sondern auch eine ästhetische Dimension haben kann, erkennt man an diesen Werken. Sie zeigen verschiedene algebraische Flächen, die unter den Bezeichnungen Barth Sextik, Labs Quintic und Labs Septic bekannt sind. Die  Motive wurden auf Dibond-Platten im Format 30 x 30 cm gedruckt. Auf der Rückseite befindet sich eine Halterung zum Aufhängen der Bilder. Bei Dibond handelt es sich um ein sehr leichtes, aber witterungsstabiles Aluminium/Kunststoff-Verbundmaterial. Die Motive sind wie folgt (Erklärung s. unten):

Barth Sextik (Bild 1)
Gleichung: P6 − αK2 = 0, wobei P6 = ( τ2x2−y2)( τ2y2−z2)( τ2z2− x2), τ = 1/2(1+√5) der goldene Schnitt und α = 1/4(2τ+1)=1/4(2+√5), sowie K = x2+y2+z2−1 eine Kugeloberfläche mit Radius 1 beschreibt, Wolf Barth, ca. 1995
Singularitäten: 65 vom Typ A1 (davon 50 im Endlichen)
Design: Oliver Labs
(Mehr Informationen zur Barth Sextik finden Sie hier.)

Labs Quintic (Bild 2)
Gleichung: S5(x, y)+t(z) = 0, wobei S5(x, y) = x5−10x3y2+5xy4−5x4−10x2y2−5y4+20x2+20y2−16 ein regelmäßiges Fünfeck beschreibt und das Polynom t(z) = −3z5+10z3−15z−8 eine Variante der sogenannten Tchebychev Polynome darstellt.
Singularitäten: 15 (5 vom Typ A2-- und 10 vom Typ A2+-)
Gleichung und Design: Oliver Labs, 2005

Labs Septic (Bild 3)
Die Gleichung für diese algebraische Fläche ist so kompliziert, dass sie über mehrere Zeilen geht, daher wird sie hier nicht aufgeführt.
Singularitäten: 99
Gleichung und Design: Oliver Labs, 2004

Algebraische Geometrie: Von Formeln und Formen

Die algebraische Geometrie beschäftigt sich mit Kurven und Flächen im Raum. Bei diesen Kurven und Flächen handelt es sich um eine Menge an Nullstellen für eine gegebene Polynomgleichung. Man kann auch sagen, dass die Nullstellen die Lösungen der Gleichungen darstellen. Oder mit anderen Worten: Jeder Punkt x, y und z, der eine bestimmte Polynomgleichung erfüllt, ist Teil der dazugehörigen algebraischen Fläche.

Eine Besonderheit sind die sogenannten Singularitäten in solchen algebraischen Kurven und Flächen. Kurven und Flächen können glatt sein, wie dies für die Linie eines Kreises oder die Oberfläche einer Sphäre der Fall ist. Sie können jedoch auch Singularitäten aufweisen, womit Spitzen in solchen glatten Kurven und glatten Flächen gemeint sind.

Diese lassen sich nach ihrer Art unterscheiden. Die einfachste Singularität für eine Fläche überhaupt ist der sogenannte gewöhnliche Doppelpunkt, eine Art Einschnürung. Sie ist typisch für die Barth Sextik, die im Wesentlichen aus solchen Doppelkegeln besteht (Singularität vom Typ A1, gewöhnlichen Doppelpunkt, lokal beschreibbar durch folgende Gleichung x² + y² - z² = 0).

Für eine Singularität vom Typ A2 wie sie bei der Labs Quintic vorkommt, stelle man sich - etwas vereinfacht betrachtet - ein ausgebreitetes Bettlaken vor, das entweder an einem Punkt in der Mitte des Lakens an einem Faden hochgezogen wird oder aber an zwei von vier Seiten des Lakens. Im ersten Fall hat man es mit einer Singularität vom Typ A2-- zu tun, im zweiten Fall mit einer Singularität vom Typ A2+- (Singularität vom Typ A2, lokal beschreibbar durch folgende Gleichungen: x² + y² - z³ = 0 für A2+- und x² - y² - z³ = 0 für A2--). Sie werden auch Cusps genannt.

Die Labs Quintic besitzt 15 dieser Cusps. Sie wurde im Jahr 2005 Oliver Labs konstruiert, wobei nachgewiesen ist, dass eine Quintic maximal 20 Cusps haben kann. Aktuell ist die Labs Quintic mit ihren 15 Cusps der  Weltrekordhalter für Singularitäten des Typs A2 und die Labs Septic mit ihren 99 gewöhnlichen Doppelpunkten den Weltrekordhalter für den Typ A2, jeweils bezogen auf den Grad des Polynoms.

20 und 104 stellen aktuell die obere Grenze für die maximale Anzahl der Singularitäten dar. Ob die aber tatsächlich erreichbar ist, ist unbekannt. Auch ist offen, ob es noch jemandem gelingen kann, eine Quintic mit mehr als 15 oder eine Septic mit mehr als 99 Singularitäten zu konstruieren. Allein bei der Barth Sextik kann der Weltrekord nicht mehr gebrochen werden: Hier stellt die 65 bereits die theoretische Obergrenze dar.

(Mehr Informationen zu Begrifflichkeiten finden Sie hier.)

Quelle: Persönlicher Austausch mit Dr. Oliver Labs und Oliver Labs: Weltrekordflächen (PDF als Download). Hersteller: MO-Labs Dr. Oliver Labs.

Altersempfehlung: ab 14 Jahre
Material: Dibond
Format: 30 x 30 cm
Gewicht ca. : 380 g
Geschenk für: Physiker/in, Erwachsene, Mathematiker/in, Jugendliche
Geeignet zum: Verschenken, Dekorieren / Einzug
Einsatzort: Büro / Praxis, Küche / Wohnen, Schule / Universität
Herkunft: Made in Germany
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