Weltkrekordfläche Barth Sextik in Glas

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  • MK00321
  • ab 14 Jahre
  • Glas
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Komplizierte mathematische Gleichungen können als geometrische Objekte eine ganz eigene Ästhetik... mehr
Produktinformationen "Weltkrekordfläche Barth Sextik in Glas"

Komplizierte mathematische Gleichungen können als geometrische Objekte eine ganz eigene Ästhetik entwickeln. Eines der schönsten Beispiele dafür ist eine algebraische Weltrekordfläche vom Grad 6. Entdeckt hat sie um 1995 der Erlanger Professor für Mathematik, Wolf Barth. Nach ihm wird sie Barth Sextik genannt. Diese algebraische Fläche ist als Designobjekt besonders gut als Geschenk für Mathematiker und Mathematiklehrer geeignet.

Nicht-Mathematikern eröffnet die Barth Sextik gleichsam einen wunderbaren Einblick in das spannende Gebiet der algebraischen Geometrie. Die Barth Sextik zeigt, wie sich aus hochkomplexe Gleichungssysteme mitunter außergewöhnliche Strukturen ergeben, die sich Künstler nicht schöner ausdenken könnten. Bei dem Produkt wurde die Sextik von Barth per Laser in Glas graviert und ist in verschiedenen Versionen erhältlich. Eine Booklet zum Thema liegt jeweils bei.

  • Glaswürfel mit Kantenlänge 5 cm oder 8 cm (Gewicht ca. 300 g und ca. 1250 g), geeignet als Briefbeschwerer
  • Memohalter: Glaswürfel mit Kantenlänge 3 cm (Gewicht ca. 85 g, Höhe ca. 14 cm)
  • Schlüsselanhänger: Glaswürfel mit Kantenlänge 2,2 cm (Gewicht ca. 30 g, Länge ca. 9,5 cm)


Die exakte Gleichung von Barths Fläche lautet P6 − αK2 = 0, wobei P6 = ( τ2x2−y2)( τ2y2−z2)( τ2z2− x2), τ = 1/2(1+√5) der goldene Schnitt und α = 1/4(2τ+1)=1/4(2+√5), sowie K = x2+y2+z2−1 eine Kugeloberfläche mit Radius 1 beschreibt. Jeder Punkt x, y und z, der diese Gleichung erfüllt, ist Teil der algebraische Fläche.

Allein die Berechnung der einzelnen Punkte solcher komplizierter Strukturen sowie ihre zwei- oder dreidimensionale Darstellung als Grafik oder Skulptur sind dabei überaus anspruchsvoll und ohne den Einsatz von Computern und entsprechender Software nicht möglich.

Um eine Weltrekordfläche handelt es sich, weil sie die maximale Anzahl von 65 isolierten Singularitäten besitzt, die eine solche Fläche von Grad 6, auch Sextik genannt, überhaupt haben kann. Singularitäten befinden sich überall dort, wo sich das Objekt verjüngt. Diese Stellen werden nicht-glatt oder Spitzen genannt. Bereits kurz nach Barths Entdeckung konnten die Mathematiker David B. Jaffe und Daniel Ruberman beweisen, dass 65 Singularitäten für eine Sextik die obere Grenze an Singularitäten darstellt. Damit lässt sich dieser Weltrekord nicht mehr verbessern.1

Auf der englischsprachigen Seite von MathWorld zur Barth Sextik kann man sehen, wo 50 der insgesamt 65 Singularitäten liegen. 20 davon befinden sich an den Eckpunkten eines Dodekaeders, einem geometrischen Objekt mit 12 gleichen Flächen in Form von Fünfecken. Sie werden auch Pentagon genannt. 30 Singularitäten findet man an den Eckpunkten eines weiter innen liegenden Ikosidodekaeder, das aus Fünfecken und Dreiecken besteht. Die restlichen 15 Singularitäten liegen „unendlich fern“. Das bedeutet, man müsste bestimmte Linien der Sextik nach Barth ins Unendliche verlängern, um diese zu finden.

Im Grad 7 ist der aktuelle Weltrekord, der vom Mathematiker Oliver Labs gehalten wird, zum Beispiel 99. Bei der so genannten Labs Septic ist im Gegensatz zur Barth Sextik noch nicht bekannt, ob es möglich ist, diesen Weltrekord zu verbessern. Bisher weiß man nur, dass es auf keinen Fall mehr als 104 Singularitäten für diesen Grad geben kann. Vielleicht findet aber irgendwann jemand eine Fläche vom Grad 7 mit 100 Singularitäten (also einen neuen Weltrekord für Grad 7) oder jemand beweist, dass der Weltrekord von 99 nicht mehr zu übertreffen ist.1

Algebraische Geometrie: Von Formeln und Formen

Algebraische Kurven und Flächen werden wie die Barth Sextik durch Polynome definiert, die aus der Schule bekannt sind. Die Lösungen dieser Gleichungen sind die Nullstellen des Polynoms. Bei aus der Schule bekannten Gleichungen wie y=x³+2x+5 ist der Grad der höchste auftretende Exponent. In diesem Beispiel wäre das 3 von x³. Bei mehreren Variablen muss man bei Produkten die Grade addieren. Ein Beispiel wäre das Folgende: Ein Polynom x²y³ + 2x³ hat den Grad 5, denn x² hat den Grad 2 und y³ den Grad 3 und 2+3=5. Bei der Barth Sextik ergeben sich nach Ausmultiplizieren sehr viele Summanden. Der höchste Grad, der dabei auftritt, ist 6, etwa bei dem Term x²y²z². Nicht nur die Sextik trägt jedoch einen besonderen Namen.

Dies gilt bis zu einem gewissen Grad für alle entstehenden geometrischen Objekte und die Polynome selbst. Eine Quadrik bezeichnet etwa ein Polynom von Grad 2. Bei einem solchen kann es sich um eine einfache Parabel mit f(x) = x² als auch die oben schon erwähnte Sphäre aber natürlich noch um zahlreiche andere Kurven in der Ebene oder Flächen im Raum handeln. Kubik, Quartik, Quinitk, Sextik und Septik heißen die Polynome von Grad 3 bis 7.

Mathematiker verlassen dabei übrigens gerne einmal den dreidimensionalen Anschauungsraum, denn mit solchen Formeln lassen sich auch Objekte darstellen, die in 8, 10 oder 20 und mehr Dimensionen leben. Sich vorstellen oder gar darstellen kann man ein solches Ding dann natürlich nicht mehr, das mehr als Länge, Breite und Höhe hat.

Singularitäten: Spitzen in glatten Kurven und glatten Flächen

Viele Kurven und Flächen sind glatt. Dies gilt zum Beispiel für die Linie eines Kreises oder die Oberfläche einer Sphäre. Sie können jedoch auch Singularität aufweisen und damit sind Spitzen in einer solchen glatten Kurve oder glatten Fläche gemeint.

Ein Beispiel in zwei Dimensionen ist die Neilsche Parabel, auch Kaffeetassensingularität genannt. Der Grund: Fällt das Licht in einem besonderen Winkel in eine Tasse, die mit Kaffee oder Tee gefüllt ist, so spiegelt sich manchmal eine solche Neilsche Parabel darin. Sehr schön ist das auf der Seite von Thomas Markwig, apl. Professor für Mathematik an der Universität Tübingen beschrieben (Link s. unten). Die Gleichung dazu sieht in einer einfachen Form wie folgt aus: x² = y³ oder x² - y³ = 0. Der Verlauf des Graphen ist in der Abbildung oben zu sehen.

Spannend wird es, wenn man noch eine Dimension dazu nimmt und es nicht mehr nur mit algebraischen Kurven, sondern mit algebraischen Flächen zu tun hat. Bei Quadriken, also Flächen zweiten Grades kann es sich etwa um Sphären, Zylinder, Ellipsoide und Kegel handeln. Ein Beispiel für eine solche Gleichung ist für den Doppelkegel: x² + y² - z² = 0 (Bild eines Doppelkegels s. oben).

Ein Doppelkegel weist dabei eine Besonderheit auf, die man 65-fach in der Barth Sextik entdeckt: eine Singularität. Wie bei der Neilschen Parabel befindet sich beim Doppelkegel am Ursprung eine Spitze, hier auch gewöhnlicher Doppelpunkt genannt, die man anschaulich als Einschnürung bezeichnen könnte. Es handelt sich dabei um die einfachste Singularität für eine Fläche überhaupt.

3d-Daten und Design: Dr. Oliver Labs / Hersteller: MO-Labs Dr. Oliver Labs. In Deutschland gelasert.
1Quelle: Persönlicher Austausch mit Dr. Oliver Labs und Oliver Labs: Weltrekordflächen (PDF als Download)

Altersempfehlung: ab 14 Jahre
Material: Glas
Geschenk für: Physiker/in, Erwachsene, Mathematiker/in, Jugendliche
Geeignet zum: Experimentieren, Verschenken, Dekorieren / Einzug
Einsatzort: Schule / Universität, Küche / Wohnen, Büro / Praxis
Herkunft: Made in Germany
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